Үзіліссіз функциялар курстық жұмыс

                                                           Кіріспе

  Үзіліссіз функциялар.

      1.Функциялардың үзіліссіздігі мен үзілуі

 Үзіліссіздіктің әр түрлі анықтамалары. Үзіліссіздікті дәл анықтаудың алдында, сол ұғымға келтіретін бір көрнекті мысалдар қарастырайық.31- суретте  L  және L´ қыйсықтары сызылған. «Осы екі қыйсықтың қайсысын «үзіліссіз қыйсық» деп атауға болар еді?» деген сұраққа, әрине, мынадай жауап беруге болады: L сөзсіз «үзіліссіз» болады да, L´ жалпы алғанда «үзіліссіз» болып көрінгенімен, xₒ нүктесінде «үзіледі».

 L және .L´ қисықтары сәйкес f және g функцияларының графиктері болсын. Әрине, графигі «үзіліссіз қисық» болатын функцияны үзіліссіз деп, ал оған қарама қарсы жағдайда үзілісті функция деп атаған жөн. Бұны функцияның үзіліссіздігі мен үзілістігінің алдын ала берілген уақытша анықтамасы ретінде қабылдап, сол ұғымды құрайтын қасиеттерді дәл анықтауға тырысайық.

 Ең алдымен f(x) функциясының анықтау керек болатын үзіліссіздік қасиеті оның графигі L  қисығының әрбір нүктесіне тән қасиеттері мен тығыз байланысты екенін атап өтейік. Сондықтан, үзіліссіздікті барлық x-тер үшін анықтау мәселесі тіреледі.

Сонымен,x=xₒ  болсын. Осы xₒ нүктесіне байланысты f(x)  функциясының қасиеттері қандай болу керек?

                                                               31-сурет

Б і р і н ш і д е н, f  функциясының xₒ  нүктесінде анықталғандығы қажет. Бұл өте маңызды, өйткені f  (xₒ) анықталған болмаса, онда L сығында бір нүкте жетіспес еді.

Е к і н ш і д е н, f  функциясы xₒ  нyктесінің «қасындағы» барлық нүктелерде, яғни белгілі бір Ϭ оң саны үшін ( xₒ- δ,xₒ+δ )   жиындарының бірінде анықталуы қажет.    

Ү ш і н ш і д е н, x  нүктесі xₒ-ге оң жағынан да, сол жағынан да ақырсыз жағынан да, f(x)   f(xₒ)-ге ақырсыз жақындау керек (31 суреттен мынаны көруге болады:  x нүктесі xₒ- ге оң жағынан ақырсыз жақындағанда y=g(x)  функциясы үшін қасиет орындалмайды)

Міне, енді осы үш қасиетке негізделген үзіліссіздіктің дәл математикалық анықтамасын бере аламыз.

      f функциясы  I aралығында *  анықталған болсын. Егер xₒϵI  нүктесі үшін x  xₒ-ге  ұмтылғанда оған сәйкес f(x)  f(xₒ) -ге ұмтылса, онда f  функциясын xₒ  нүктесінде үзіліссіз- дейді.

Сонымен, үзіліссіздік шек ұғымы арқала анықталады. Әрине, бұл анықтамxада біз жоғарыда бөліп алған үш қасиет сақталған:

Б і р і н ш ід е н,  xₒϵI  , яғни f(xₒ) анықталған,

Е к і н ш і д е н, f  функциясы I аралығында анықталған, демек, xₒϵI  болғанда ( xₒ-δ,xₒ+ δ ) ϵI, [xₒ; xₒ+δ)   немесе  ( xₒ- δ;xₒ]ϵI    кірістірулерінің кемінде бірін қанағаттандыратын Ϭ оң саны  табылады,

Ү ш і н ш і д е н, соңғы қасиеттің дәл мағынасы шек ұғымы арқылы берілген: lim f(x)=f(xₒ).

                        x→xₒ

  f функциясының xₒ нүктесінде үзіліссіз болуының анықтамасы шекті белгілеу үшін қолданылатын символдар арқылы былай жазылады:

1.lim  f(x) =f(xₒ)= lim f(x)=f(xₒ).

       x→xₒ-0                      x→xₒ+0

2. f(x-0)=f(xₒ)=f (xₒ+0).

3.  lim f(x)=f(xₒ).

        x→xₒ

4.  lim    [f(x)-f(xₒ)]=0.

        x→xₒ

5.  lim [f(xₒ+h)-f(xₒ)]=0.

     h→0

6.  lim [f(xₒ+∆x)-f(xₒ)]=0.

          ∆x→0 

7.  lim ∆y=0.

          ∆x→0 

8.  f(x)→f(xₒ) (x→xₒ)

9.  f(xₒ+h)-f(xₒ)→0  (h→0)

10.f(xₒ+∆x)-f(xₒ)→0  (∆x→0)

11. ∆y→0  (∆x→0)

12. x→xₒ=> f(x)→f(xₒ)

13. h→0=>f(xₒ+h)→f(xₒ)

14. ∆x→0=> f(xₒ+∆x) → f(xₒ)

15. ∆x→0=>∆y→0

Бұнда ∆x=x-xₒ=h, ∆y= f(x)→f(xₒ) белгілері қолданылған(∆х пен  ∆y- тұтас символдар, сәйкес «дельта икс» және «дельта игрек» деп оқылады)  x→xₒ=һ=∆x  сандары функцияның аргументінің немесе тәуелсіз айналымының xₒ нүктесіндегі өсімшесі деп ,ал оған сәйкес

∆y= f(x)→f(xₒ)= f(xₒ+h)-f(xₒ) f(xₒ+∆x)-f(xₒ)  саны функцияның немесе тәуелді айнымалының өсімшесі деп аталады. «Өсімше» терминін қолданып, үзілсіздіктің анықтамасын былай айтуға болады:

Егер тәуелсіз айнымалының xₒ нүктесіндегі өсімшесі нольге ұмтылғанда оған сәйкес f функциясының өсімшесі нольге ұмтылса, оған f функциясы xₒ нүктесінде үзіліссіз- деп аталады. Егер f  функциясының анықталу аралығы     [a;b] сегменті болса, онда а және b шеткі нүктелерінде үзілсіздікті анықтау үшін, жалпы анықтаманы сәл өзгерту қажет. Дәл айтқанда, егер lim f(x)=f(xₒ) болса, онда f(x) функциясы xₒ нүктесінде

                                     x→xₒ+0

оң жақты үзіліссіз -деп аталады:

 егер lim f(x)=f(xₒ) болса, онда f(x) функциясы xₒ нүктесінде   сол жақты

                                     x→xₒ+0

үзіліссіз- деп аталады

Бұнда шектің 1- түріндегі жазылуы бір жақты шекке қалыптастырылған түрде пайдаландық. Шектің қалаған 14 түрін де солай өзгертіп те қолдануға болады. Әрине, біржақты үзіліссіздік ұғымы аралықтың шеткі нүктелеріне ғана емес, кез келген нүкте үшін қолданылады, бірақ [a;b]

Курстық жұмысты көшіру үшін Сатып алу мәзірінен толығырақ мәліметті алыңыз

Курстық жұмыс бойынша қысқаша мәлімет

Пән: Математика

Жұмыс түрі: курстық жұмыс

Осы жұмыстың бағасы:  1050 теңге

курстық жұмыс, дипломдық жұмыс сайты – diplomnik.kz